Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，DF折起，

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PEF；（Ⅱ）求P到平面DEF的距离．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：由已知四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
又折叠后A，B，C三点重合于点P，
∴PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，
又PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，…（4分）
又PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PEF．…（6分）
（Ⅱ）解：PD=2，PE=PF=1，EF=

2

，DE=DF=

5

，
S_△DEF=

1

2

×

2

×

5? 1 2

=

3

2

，设P到平面DEF的距离为d，
由V_P-DEF=V_D-PEF，得

1

3

×S_△DEF×d=

1

3

×S_△PEF×PD，…（9分）
∴

1

3

×

3

2

×d=

1

3

×

1

2

×1×1×2，∴d=

2

3

，
∴P到平面DEF的距离为

2

3

．…（12分）