Question

边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、D

边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P-DEF体积的最大值．

Answer 1

（1）∵E、F分别为AB、BC中点，在平面图形中连结AF，BD交O点，AF交DE于M，则O为三角形DEF的垂心，
三角形AED在沿DE的折叠过程中，AM始终垂直于DE，
∴过A在过M且与DE垂直的平面上，
又AM=

2

5

，
∴A在以M为圆心，AM为半径的圆上．
（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，
故PD⊥平面PEF，
∴当三角形PEF面积最大时，三棱锥P-DEF体积最大，
设PE=t，∠EPF=α，则（2-t）²+1=1+t²-2tcosα，
即cosα=

2t?2

t

，
则S△PEF＝

1

2

t?

1?( 2t?2 t )2

=

1

2

?

?3t2+8t?4

，
故当t=

4

3

时，体积最大为

2 3

9

．