Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C

两点重合于A1
（1）为EF的中点，求DM与面A1EF所成角的正弦值





Answer 1

参考
连接A1M;AE=AF=1，EF=√2，∠BA1F=90°,A1M⊥EF且A1M＝½EF=√2/2
DE=√﹙AE²＋AD²﹚＝√5，
DM＝√﹙DE²－EM²﹚＝√[﹙√5﹚²－﹙√2/2﹚²]＝3√2/2，DM⊥EF
∴cos∠A1MD＝﹙A1M²＋DM²－A1D²﹚/﹙2A1M·DM﹚=[﹙√2/2﹚²＋﹙3√2/2﹚²－2²]/﹙2×√2/2×3√2/2﹚＝1/3＞0
∴sin∠A1MD＝√﹙1－cos²∠A1MD﹚＝√[1－﹙1/3﹚²]＝2√2/3

没有注意到：﹙√2/2﹚²＋2¹＝﹙3√2/2﹚²即A1M²＋A1D²＝MD²从而∠A1＝90°,做复杂了。

Answer 2

DA1垂直于A1F，也垂直于A1E，所以DA1垂直于平面A1EF
易证DM垂直于EF，所以DM与A1EF所成的角为角DMA1，其正弦值为DA1/DM
DA1=DC=DA=2
EF=√2，DE=√5，则DM=√(DE^2 - (EF/2)^2)=√(5-1/2)=3/√2
sin(角DMA1)=2/(3/√2)=(2√2)/3