Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E点为线段A

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D1E与AC所成角的余弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：以O为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，设AE=x，
则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），
A（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
∴

DA1

＝(1，0，1)，

D1E

＝(1，x，?1)，
∵

DA1

?

D1E

=1+0-1=0，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：∵E为AB的中点，∴E（1，1，0），
∴

D1E

＝(1，1，?1)，

AC

=（-1，2，0），
∴cos＜

D1E

，

AC

＞=

?1+2

3 ? 5

=

15

15

．
∴异面直线D₁E与AC所成角的余弦值为

15

15

．