如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB
如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以CD为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的...
如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以CD为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值。
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解：设O为原点AB在x轴上，P点坐标为(x,y)且有x²+y²=1 (y＞0),则C点坐标为(2,0)
PC长为√(2-x)²+y²=√5-4x
所以四边形OPDC面积为S=S△OPC+S△PCD
=1/2×2×y＋1/2×√3/2×(√5-4x)²
=y+√3/4×(5-4x)
=y-√3(1-y²)+5√3/4
设f(y)=y-√3(1-y²)+5√3/4 求导得f'(y)=1+2y/√3(1-y²)＞0恒成立
即f(y)=y-√3(1-y²)+5√3(0＜y≤1)单调递增
所以四边形OPDC面积最大值为S=1+5√3/4
PC长为√(2-x)²+y²=√5-4x
所以四边形OPDC面积为S=S△OPC+S△PCD
=1/2×2×y＋1/2×√3/2×(√5-4x)²
=y+√3/4×(5-4x)
=y-√3(1-y²)+5√3/4
设f(y)=y-√3(1-y²)+5√3/4 求导得f'(y)=1+2y/√3(1-y²)＞0恒成立
即f(y)=y-√3(1-y²)+5√3(0＜y≤1)单调递增
所以四边形OPDC面积最大值为S=1+5√3/4
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创远信科
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