Question

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE （1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE （1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形.

Answer 1

（1）∠CAE=30°；（2）∠FAE=90°，四边形AFCE是矩形

解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点， ∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°； ∵△DAE是等边三角形， ∴∠DAE=60°； ∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；            （2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点， ∴CF⊥AB； ∴∠BFC=90° 由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°； ∴∠FAE=90°； ∴AE∥CF；             ∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线， ∴AD=CF； 又AD=AE， ∴CF=AE；             ∴四边形AFCE是平行四边形； ∵∠FAE=90°， ∴四边形AFCE是矩形．