Question

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数；

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

Answer 1

（1）由∠BAC=60°，AD⊥BC，
∴∠DAC=30°。
由∠DAE=60°，∴∠CAE=60°-30°=30°。
（2）由∠BAE=60°+30°=90°，
∴AE⊥AB。又F是AB中点，∴CF⊥AB。得AE∥CF。
由CF=AD=AE（等边三角形ABC的高AD=CF）
∴AE=CF，AE∥CF，且∠BAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形。

Answer 2

（1）由∠BAC=60°，AD⊥BC，
∴∠DAC=30°。
由∠DAE=60°，∴∠CAE=60°-30°=30°。
（2）由∠BAE=60°+30°=90°，
∴AE⊥AB。又F是AB中点，∴CF⊥AB。得AE∥CF。
由CF=AD=AE（等边三角形ABC的高AD=CF）
∴AE=CF，AE∥CF，且∠BAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形。

Answer 3

（1）由∠BAC=60°，AD⊥BC，
∴∠DAC=30°。
由∠DAE=60°，∴∠CAE=60°-30°=30°。
（2）由∠BAE=60°+30°=90°，
∴AE⊥AB。又F是AB中点，∴CF⊥AB。得AE∥CF。
由CF=AD=AE（等边三角形ABC的高AD=CF）
∴AE=CF，AE∥CF，且∠BAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形。

Answer 4

（1）解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE=60°；
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；
（2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC=90°
由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；
∴∠FAE=90°；
∴AE∥CF；
∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，
∴AD=CF；
又AD=AE，∴CF=AE；
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵∠AFC=∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．