Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）求

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC
=

1

2

?（3+4）?1+

1

2

?2-4-

1

2

?3?3
=

7

2

+

8

2

-

9

2

=3
S_△ABC=

1

2

?AB?OC=

1

2

?4?3=6，
∴S_△BCM：S_△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴-3=x²-2x-3，
解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），
∴Q（2，-3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x²-2x-3，
解得 x=1+

7

或x=1-

7

，
∴Q（1+

7

，3）或（1-

7

，3）．
综上所述，Q点为（2，-3）或（1+

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Answer 2

【题目】
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(−4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2)，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒。
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式。

【解析】
（1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；
（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4-4t，由于直线AC的解析式为：y=
1
2
x+2，得到E（2t-4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；
（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】
（1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0
a+b+c=0
c=2
，
∴
a=-
1
2
b=-
3
2
c=2
，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2
x2-
3
2
bx+2，
对称轴为：直线x=-
3
2
；
（2）存在，
∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4-4t，
∴D（2t-4，0），
∵直线AC的解析式为：y=
1
2
x+2，
∴E（2t-4，t），
∵△EFC为直角三角形，
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，
∴
DE
OF
=
DF
OC
，即
t
4-4t
=
2t
2
，
解得：t=
3
4
，
②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE=
1
2
AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③当∠ACF=90°，
则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t-4）2]=（4t）2，
解得：t=
5
4
，
∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=
3
4
或
5
4
；
（3）∵B（1，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：y=-2x+2，
当D在y轴的左侧时，S=
1
2
（DE+OC）•OD=
1
2
（t+2）•（4-2t）=-t2+4 （0<t<2），
当D在y轴的右侧时，如图2，
∵OD=4t-4，DE=-8t+10，
S=
1
2
（DE+OC）•OD=
1
2
（-8t+10+2）•（4t-4）=-16t2+40t-24 （2<t<
5
2
）．