Question

圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．（1）求k值； ...

圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．（1）求k值； （2）求直线PQ的方程．

Answer 1

（1）曲线x²+y²+x-6y+3=0可变为：(x+

1

2

)2+(y?3)2＝(

5

2

)2
得到圆心（-

1

2

，3），半径为

5

2

；
因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，
把（-

1

2

，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2
（2）直线PQ的斜率=

?1

k

=-

1

2

；设PQ方程为y＝?

1

2

x+b
联立得

x2+y2+x?6y+3＝0 y＝? 1 2 x+b

，代入整理得

5

4

x2+(4?b)x+b2?6b+3＝0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

5

4

x1x2?

b

2

(x1+x2)+b2＝0
∴b2? 6b+3?

2

5

(b2?4b )+b2＝0
∴b＝

3

2

或b＝

5

4

所以直线PQ的方程为：y＝?

1

2

x+

3

2

或y＝?

1

2

x+

5

4

，经验证符合题意．