Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝1011，求椭圆

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝1011，求椭圆的方程．

Answer 1

解答：解析：设所求椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0），
依题意，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐标满足方程组

mx2+ny2＝1 y＝2x+1

解之并整理得（m+4n）x²+4nx+n-1=0
所以：x₁+x₂=-

4n

m+4n

，x₁x₂=

n?1

m+4n

        ①
由OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（2x₁+1）（2x₂+1）=0，5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0
∴5×

n?1

m+4n

+2×

?4n

m+4n

+1=0，∴m+n=5      ②
又由|PQ|=

10

11

∴|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=

100

121

∴（x₁-x₂）²+（2x₁-2x₂）²=

100

121

，
∴5（x₁+x₂）²-20x₁x₂=

100

121

，（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

20

121

，③
由①②③可得：19n²-98n+120=0
∴n=2或n=

60

19

，m=3或m=

35

19

故所求椭圆方程为3x²+2y²=1，或

35x2

19

+

60y2

19

＝1．