Question

设0<x1<4,xn+1=√xn(4-xn),证明极限limxn存在,并求此极限

Answer 1

先假设极限存在，设为x，则x=3+4/x，所以x=4，舍去x=-1。

由归纳法知x[n]>0。

进而x[n]>3(n>1)|x[n+1]-4|=|4/x[n]-1|。

=|4-x[n]|/|x[n]|1)。

所以lim(n→∞)|x[n]-4|=0即∫lim(n→∞)x[n]=4。

极限思想简介：

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为。

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量。

Answer 2

xn+1=√xn(4-xn)≤4/2=2。xn+1-xn=4xn-2xn²=2xn(2-xn)＞0。即证limxn=s存在,s²=s(4-s),得s=2。即证。有疑问请追问，满意请采纳~\(≧▽≦)/~

追答

对了，xn+1-xn的分母忘了打，可自行补上，分母大于零。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示