Question

如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E．（1）若ED与⊙A相切

如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E．（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC=CD，求∠C．

Answer 1

（1）结论：GD与⊙O相切．理由如下： 连接AG． ∵点G、E在圆上， ∴AG=AE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD ∥ BC． ∴∠B=∠1，∠2=∠3． ∵AB=AG， ∴∠B=∠3． ∴∠1=∠2． 在△AED和△AGD中， AE=AG ∠1=∠2 AD=AD ， ∴△AED≌△AGD． ∴∠AED=∠AGD． ∵ED与⊙A相切， ∴∠AED=90°． ∴∠AGD=90°． ∴AG⊥DG． ∴GD与⊙A相切． （2）∵GC=CD，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，∠4=∠5，AB=AG．（5分） ∵AD ∥ BC， ∴∠4=∠6． ∴∠5=∠6= 1 2 ∠B． ∴∠2=2∠6． ∴∠6=30°． ∴∠C=180°-∠B=180°-60°=120°．（6分）