Question

已知正数数列{c n }的前n项和为S n ，且满足S n +c n =1（n∈N * ）．（1）求数列{c n }的通项公式；（2

已知正数数列{c n }的前n项和为S n ，且满足S n +c n =1（n∈N * ）．（1）求数列{c n }的通项公式；（2）设a n = 1 c n ，探究是否存在数列{b n }，使得a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n =（2n一1）2 2n+1 +2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由；（3）若（2）探究出存在数列{b n }，则求数列{b n ?c n }的前n项的和T n ；若（2）探究出不存在数列{b n }，则请计算数列{ 2n+1 2 n }的前n项和．

Answer 1

（1）当n=1时，S 1 +c 1 =1，即2c 1 =1，故c 1 = 1 2 （1分） 当n≥2时，S n +c n =1，S n-1 +c n-1 =1，两式相减，得（S n -S n-1 ）+（c n -c n-1 ）=0， 即2c n =c n-1 ， 所以数列{c n }是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 所以c n = ( 1 2 ) n ．（3分） （2）因为a n = 1 c n ， 所以a n =2 n ．（4分） 若存在数列{b n }，使得a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n =（2n一1）2 n+1 +2对一切正整数n都成立， 则a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n-1 b n-1 =（2n一3）2 n +2（n≥2），（6分） 两式相减，得a n b n =2 n （2n+1）（n≥2），解得b n =2n+1（n≥2）； 由a 1 b 1 =6，得b 1 =3，符合上式，所以b n =2n+1（n∈N * ）． 所以存在符合条件的数列{b n }，其通项公式为b n =2n+1（n∈N * ）．（8分） （3）因为b n ?c n = 2n+1 2 n ，故数列{b n ?c n }的前n项的和T n = 3 2 + 5 2 2 + 7 2 3 +…+ 2n+1 2 n ， 所以 1 2 T n = 3 2 2 + 5 2 3 + 7 2 4 +…+ 2n+1 2 n+1 ， 所以T n - 1 2 T n = 3 2 + 2 2 2 + 2 2 3 + 2 2 4 +…+ 2 2 n - 2n+1 2 n+1 = 3 2 + 1 2 (1- 1 2 n-1 ) 1- 1 2 - 2n+1 2 n+1 （11分） 故 1 2 T n = 5 2 - 1 2 n-1 - 2n+1 2 n+1 = 5 2 - 2n+5 2 n+1 ， 所以T n =5- 2n+5 2 n （13分）