Question

若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[-1，1]上不等式f（

若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0），由f（0）=1， ∴c=1，∴f（x）=ax 2 +bx+1 ∵f（x+1）-f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x， ∴ 2a=2 a+b=0 ∴ a=1 b=-1 ∴f（x）=x 2 -x+1（5分） （2）由题意：x 2 -x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立， 即x 2 -3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立 g(x)= x 2 -3x+1-m=(x- 3 2 ) 2 - 5 4 -m 其对称轴为 x= 3 2 ，∴g（x）在区间[-1，1]上是减函数， ∴g（x） min =g（1）=1-3+1-m＞0， ∴m＜-1（10分）．