Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1 （-c，0），F 2 （c，0）。已知

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1 （-c，0），F 2 （c，0）。已知（1，e）和（e， ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。 （1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF 1 与直线BF 2 平行，AF 2 与BF 1 交于点P。（i）若AF 1 -BF 2 = ，求直线AF 1 的斜率；（ii）求证：PF 1 +PF 2 是定值。

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Answer 1

解：（1）由题设知a 2 =b 2 +c 2 ，e= ， 由点（1，e）在椭圆上，得 ， ∴b=1，c 2 =a 2 -1 由点（e， ）在椭圆上，得 ∴ ， ∴a 2 =2 ∴椭圆的方程为 。 （2）解：由（1）得F 1 （-1，0），F 2 （1，0）， 又∵直线AF 1 与直线BF 2 平行， ∴设AF 1 与BF 2 的方程分别为x+1=my，x-1=my 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），y 1 ＞0，y 2 ＞0， ∴由 ，可得（m 2 +2） -2my 1 -1=0 ∴ ， ∴|AF 1 |= ① 同理|BF 2 |= ② （i）由①②得|AF 1 |-|BF 2 |= ， ∴ ，解得m 2 =2 ∵注意到m＞0， ∴m= ∴直线AF 1 的斜率为 。 （ii）证明：∵直线AF 1 与直线BF 2 平行， ∴ ，即 由点B在椭圆上知， ， ∴ 同理 ∴PF 1 +PF 2 = = 由①②得， ， ， ∴PF 1 +PF 2 = ∴PF 1 +PF 2 是定值。