Question

（2012?河南模拟）已知ABCD为圆内接四边形，AB⊥AD，延长BC、AD相交于点E，过三点D、C、E的圆与BD的延长

（2012?河南模拟）已知ABCD为圆内接四边形，AB⊥AD，延长BC、AD相交于点E，过三点D、C、E的圆与BD的延长线交于点F．求证：EC?EB-DB?DF=DE2．

Answer 1

证明：因为ABCD为圆内接四边形，AB⊥AD，根据圆内接四边形对角互补，得∠BCD=90°，
由题意得，CDEF为圆内接四边形，所以∠BCD=∠DFE，
所以∠BAD=∠DFE，
所以△DEF∽△DAB，
∴

DB

DA

＝

DE

DF

，∴DB?DF=DA?DE，
又EC?EB=ED?EA，
∴EC?EB-DB?DF=ED?EA-DA?DE=DE?（EA-DA）=DE²．