Question

如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求

如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求△OPC的最大面积；（2）求∠OCP的最大度数；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

试题分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此要想△OPC的面积最大，则要OC边上的高最大；由图形可知，当OP⊥OC时高最大； （2）要想∠OCP的度数最大，由图形可知当PC与⊙O相切才能满足，根据切线的性质即可求得； （3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线 试题解析：（1）∵AB=4， ∴OB=2，OC=OB+BC=4． 在△OPC中，设OC边上的高为h， ∵S △OPC = OC?h=2h， ∴当h最大时，S △OPC 取得最大值． 观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示： 此时h=半径=2，S △OPC =2×2=4． ∴△OPC的最大面积为4． （2）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示： ∵tan∠OCP= ， ∴∠OCP=30° ∴∠OCP的最大度数为30°． （3）证明：如答图3，连接AP，BP． ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD， ∵∠AOP=∠DOB ∴AP=BD， ∵CP=DB， ∴AP=CP， ∴∠A=∠C ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C， 在△ODB与△BPC中 ， ∴△ODB≌△BPC（SAS）， ∴∠D=∠BPC， ∵PD是直径， ∴∠DBP=90°， ∴∠D+∠BPD=90°， ∴∠BPC+∠BPD=90°， ∴DP⊥PC， ∵DP经过圆心， ∴PC是⊙O的切线．