Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．

Answer 1

解答：证明：（1）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
因为E为正方形CBB₁C₁对角线的交点，
所以E为C₁B的中点．
又D是AB的中点，
所以DE为△ABC₁的中位线，
故DE∥AC₁．
因为AC₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁，所以AC₁∥平面CDB₁．
（2）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC．
因为C₁C⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥C₁C．
又C₁C?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
又BC₁?平面BB₁C₁C，所以AC⊥BC₁．