Question

求函数y=x^x的单调性？这个函数可以求导么？？

x>0这个函数算不算复合函数？若能解决 再判断下y=（1+1/x）^x这个函数同样的问题

重点求这个函数y=（1+1/x）^x的单调性!!!!!!!!!!!!

Answer 1

解：1.这个函数可以求导，易知该函数的定义域为X＞0
∵x=e^lnx
设f(x)=x^x=e^(xlnx)
f′(x)=e^(xlnx)·(xlnx)′
=e^(xlnx)·(1+lnx)=x^x(1+lnx)
令f′(x)＞0，解得x>1/e
f′(x)＜0，解得0<x<1/e
∴函数的增区间为（1/e,＋∞）
减区间为（0,1/e）
2. 好像在数学分析里有，这是一个非常难证明的结论，需要构造，
在0到正无穷上单增，并且有界，极限为e

追问

极限为e？ 答案好像是x>0都是单调递增的

追答

这里要用到一个重要的函数极限，limx→﹢∞（1+1/x）^x=e
[（1+1/x）^x]′=（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x]
∵在﹙0，+∞﹚上，（1+1/x）^x＞0恒成立
∴只需判断ln(1+1/x)﹣1/1+x的符号
对h(x)=ln(1+1/x)﹣1/1+x求导得，h′(x)＝-1/x(x+1)²＜0
∴h(x)=ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚在﹙0，+∞﹚上单调递减
∵ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚=[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／(x+1)
又∵（x+1）ln(1+1/x)＞xln(1+1/x)
根据极限的保不等式性
limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞limx→﹢∞xln(1+1/x)=limx→﹢∞
ln(1+1/x)^x=lne=1
∴limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞1
∴在﹙0，+∞﹚上（x+1）ln(1+1/x)﹣1＞0恒成立
∴[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／（x+1）＞0
即ln(1+1/x)﹣1/1+x＞0
∴（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x]＞0
∴﹙1+1/x﹚^x在﹙0,﹢∞﹚上单调递增

追问

limx→﹢∞
ln(1+1/x)^x=lne=1
这步怎么得来的？
x→﹢∞那不是（1+1/x）→1 那在x次方？为什么→e？

追答

这是一个重要的极限，是前几倍的数学家发现的

Answer 2

可以求导，y=x^x化为y=e(xlnx)(括号里为指数），所以导数y/=（1+lnx)e(xlnx),令y/=0,x=1/e,当x<1/e,y/<0,函数为减函数；当x>1/e,y/>0,函数为增函数；
这个函数算复合函数，y=（1+1/x）^x化为y=e(xln（1+1/x))(括号里为指数），所以导数y/=（ln(1+1/x)-1/(1+x))e(xln(1+1/x)),令y/=0,x=e+3/e2+3,当x<e+3/e2+3,y/<0,函数为减函数；当x>e+3/e2+3,y/>0,函数为增函数；
给我分啊

追问

令y/=0,x=e+3/e2+3,当xe+3/e2+3,y/>0,函数为增函数；
x=e+3/e2+3 ？ 我对 ln(1+1/x)-1/(1+x) 求导得 -1/（x*（x+1））+1/（x+1）^2=-1/(x(x+1)^2)<0那 ln(1+1/x)-1/(1+x)单调递减与你的不符！

Answer 3

可以求，它是复合函数，可以两边先求对数在求导，因为这是隐函数，

Answer 4

可以求导。X＾x=e＾xlnx
求导得：=e＾(xlnx )*（xlnx）’
=e＾(xlnx)*（lnx+1）
可以得到：当x<e＾-1时，为减函数，
当x>e＾-1时，为增函数。他是复合函数。

Answer 5

不是复合函数。
由函数定义x不能小于0哈。单调增的。求导不能用一般的基础函数求导得到，用一下导数的定义来求。