Question

如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延

如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．（2）若cos∠C= 4 5 ，DF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明： （方法一）连接AC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E， 由垂径定理得，点E是CD的中点； 又∵M是AD的中点， ∴ME是△DAC的中位线， ∴MN ∥ AC． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ∴∠MNB=90°，即MN⊥BC； （方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°． M是AD的中点， ∴ME=AM，即有∠MEA=∠A． ∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A， ∴∠C=∠BEN． 又∵∠C+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠BEN=90°， ∴∠BNE=90°，即MN⊥BC； （方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°． 由于M是AD的中点， ∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM． 又∵∠CBE与∠EDA同对 AC ，∴∠CBE=∠EDA． ∵∠MED=∠NEC， ∴∠NEC=∠CBE． ∵∠C+∠CBE=90°， ∴∠NEC+∠C=90°， 即有∠CNE=90°，即MN⊥BC． （2）连接BD． ∵∠BCD与∠BAF同对 BD ，∴∠C=∠A， ∴cos∠A=cos∠C= 4 5 ． ∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°． 在Rt△ABF中，cos∠A= AB AF = 4 5 ， 设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD， ∴△ABF ∽ △BDF， ∴ BF AF = DF BF ， 即 3x 5x = 3 3x ， x= 5 3 ． ∴直径AB=4x=4× 5 3 = 20 3 ， 则⊙O的半径为 10 3 ．