Question

设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．（Ⅰ） 若椭圆C上的点A（1，32）到F1、F

设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．（Ⅰ） 若椭圆C上的点A（1，32）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ） 若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M、N外的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，求证：kPM?kPN为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：根据已知条件：2a=4，即a=2，…（1分）
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

＝1．…（2分）
又A(1，

3

2

)为椭圆C上一点，则

1

4

+

9

4b2

＝1，…（3分）
解得b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…（4分）
∴c＝

a2?b2

＝1，…（5分）
∴椭圆C的离心率.e＝

c

a

＝

1

2

…（6分）
（Ⅱ）证明：设M、N是椭圆上关于原点对称点，设M（x₀，y₀），则N（-x₀，-y₀），
设P点坐标为（x，y），则

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

＝1，…（8分）

x2

a2

+

y2

b2

=1…（9分）
即

y

2 0

＝b2(1?

x 2 0

a2

)＝

b2

a2

?(a2?

x

2 0

)，