Question

已知二项式 ( x + 1 3 x ) n 的展开式中第4项为常数项，则1+

已知二项式 ( x + 1 3 x ) n 的展开式中第4项为常数项，则1+（1-x） 2 +（1-x） 3 +…+（1-x） n 中x 2 项的系数为（　　） A．-19 B．19 C．20 D．-20

Answer 1

因为二项式 ( x + 1 3 x ) n 的展开式的通项公式， T r+1 = C rn ( x ) n-r ? ( 1 3 x ) r = C rn x n-r 2 - r 3 ， 展开式的第4项为常数项，所以 n-r 2 - r 3 =0 ，r=3， 所以，n=5， 则1+（1-x） 2 +（1-x） 3 +（1-x） 4 +（1-x） 5 中 x 2 项的系数为：C 2 2 +C 3 2 +C 4 2 +C 5 2 =1+3+6+10=20． 故选C．