Question

已知在（ 3 x - 1 2 3 x ） n 的展开式中，第6项为常数项．（1

已知在（ 3 x - 1 2 3 x ） n 的展开式中，第6项为常数项．（1）求n； （2）求含x 2 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

（1）根据题意，可得（ 3 x - 1 2 3 x ） n 的展开式的通项为 T r+1 = C rn ( x 1 3 ) n-r (- 1 2 x - 1 3 ) r = (- 1 2 ) r C rn x n-2r 3 ， 又由第6项为常数项，则当r=5时， n-2r 3 =0 ， 即 n-10 3 =0，解可得n=10， （2）由（1）可得，T r+1 =（- 1 2 ） r C 10 r x 10-2r 3 ， 令 10-2r 3 =2 ，可得r=2， 所以含x 2 项的系数为 (- 1 2 ) 2 C 210 = 45 4 ， （3）由（1）可得，T r+1 =（- 1 2 ） r C 10 r x 10-2r 3 ， 若T r+1 为有理项，则有 10-2r 3 ∈Z ，且0≤r≤10， 分析可得当r=2，5，8时， 10-2r 3 为整数， 则展开式中的有理项分别为 45 4 x 2 ，- 63 8 ， 45 256 x -2 ．

Answer 2

1）根据题意，可得（ 3 x - 1 2 3 x ） n 的展开式的通项为 T r+1 = C rn ( x 1 3 ) n-r (- 1 2 x - 1 3 ) r = (- 1 2 ) r C rn x n-2r 3 ，又由第6项为常数项，则当r=5时， n-2r 3 =0 ，即 n-10 3 =0，解可得n=10，