Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．（1）求证：DA⊥BC；（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（3）求点A到平面BCD的距离．

Answer 1

（1）在图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2．
∴CM⊥AB，CM=2，∴CB=

CM2+MB2

＝2

2

．
又AC=

AD2+DC2

＝2

2

．
∴AC＝BC＝2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ADC⊥平面ABC，面ADC∩面ABC=AC，BC?面ABC．
∴BC⊥平面ADC又AD?面ADC．
∴BC⊥DA．
（2）取CD的中点F，连接EF，BF．
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴AD∥EFEF?平面EFBAD?平面EFB，
∴AD∥平面EFB．
（3）由（1）可得：BC⊥AD，又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
∴AD就是点A到平面BCD的距离，即为AD=2．