设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b2）
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b2）．...
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b2）．
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证明：?x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x?t)+
(x?t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
，则有
f(x)≤f(
)+f′(
)(x?
)．
将不等式两边从a到b积分可得，
f(x)dx≤
f(
)dx+
f′(
)(x?
)dx
=(b?a)f(
)+f′(
)[
(x?
)2]
=(b?a)f(
)．
f(x)＝f(t)+f′(t)(x?t)+
| f″(ξ) |
| 2! |
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
| a+b |
| 2 |
f(x)≤f(
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
将不等式两边从a到b积分可得，
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
| a+b |
| 2 |
| ∫ | b a |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
=(b?a)f(
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| | | b a |
=(b?a)f(
| a+b |
| 2 |
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