Question

已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD上，点F在DC上．（1）如图1，若α=45°，∠BD

已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD上，点F在DC上．（1）如图1，若α=45°，∠BDC的度数为______；（2）如图2，当α=45°，∠BEF=90°时，求证：EB=EF；（3）如图3，若α=30°，则当∠BEF=______时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果）

Answer 1

（1）解：∵α=45°，∠ABC=2∠C=2α，
∴∠ABC=2α=90°，∠C=45°，
∵AD∥BC，AD=AB，
∴∠ADB=∠DBC=∠ABD=

1

2

∠ABC=45°，
∴∠BDC=180°-45°-45°=90°，
故答案为：90°．

（2）证明：
连接BD，作EM∥AB交BD于M，
∵∠ABC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴∠EMD=∠EDM=45°，∠DEM=∠A=90°
∴△EMD是等腰直角三角形，
∴DE=EM，
∵∠DEM=∠BEF=90°，
∴∠MEB=∠DEF=90°-∠MEF，
∵∠EMD=∠EDM=45°，∠BDC=90°，
∴∠EMB=∠EDF=135°，
∴在△EMB和△EDF中

∠MEB＝∠DEF EM＝ED ∠EMB＝∠EDF

∴△EMB≌△EDF（ASA），
∴EB=EF．

（3）解：当∠BEF=120°时，EB=EF成立，
理由是：连接BD，作EM∥AB交BD于M，
∵α=30°，
∴∠C=30°，∠ABC=2∠C=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=120°，∠EDF=180°-30°=150°，
∵EM∥AB，
∴∠DEM=∠A=120°=∠BEF，
∴∠MEB=∠DEF=120°-∠MEF，
∵∠EMD=∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠EMB=180°-30°=150°=∠EDF，EM=ED，
∴在△EMB和△EDF中

∠MEB＝∠DEF EM＝ED ∠EMB＝∠EDF

∴△EMB≌△EDF（ASA），
∴EB=EF，
故答案为：120°．