已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上
已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．...
已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使AM?AN=λPQ2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．
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（Ⅰ）∵动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，
∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，
∴|PA|+|PB|=8，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，
∴曲线C的方程为：
+
＝1．
（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，
∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my-3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
则
＝(x1+3，y1)，
＝(x2+3，y2 )，
联立方程组
，消去x，得：（7m2+16）y2-42my-49=0，
∴y1+y2=
，y1y2＝?
，
x1x2=（my1-3）（my2-3）=m2y1y2-3m（y1+y2）+9，
x1+x2=m（y1+y2）-6，
∴
?
=（x1+3）?（x2+3）+y1y
=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2
=（m2+1）y1y2
=-
，
联立方程组
，消去x，得y2＝
，y3为其一根，
∴
2＝x32+y32=（m2+1）y32=
，
∵
?
=λ
，∴-49=112λ，
解得λ＝?
，
∴存在符合条件的常数λ，λ＝?
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2-42my-49=0，
y1+y2=
，y1y2＝?
，
∵MN∥OQ，
∴S=S△MNQ=S△MNO=
|OA|?|y1-y2|=
|y1-y2|
=
?
∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，
∴|PA|+|PB|=8，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，
∴曲线C的方程为：
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，
∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my-3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
则
| AM |
| AN |
联立方程组
|
∴y1+y2=
| 42m |
| 7m2+16 |
| 49 |
| 7m2+16 |
x1x2=（my1-3）（my2-3）=m2y1y2-3m（y1+y2）+9，
x1+x2=m（y1+y2）-6，
∴
| AM |
| AN |
2 |
=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2
=（m2+1）y1y2
=-
| 49(m2+1) |
| 7m2+16 |
联立方程组
|
| 112 |
| 7m2+16 |
∴
| OQ |
| 112(m2+1) |
| 7m2+16 |
∵
| AM |
| AN |
| PQ2 |
解得λ＝?
| 7 |
| 16 |
∴存在符合条件的常数λ，λ＝?
| 7 |
| 16 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2-42my-49=0，
y1+y2=
| 42m |
| 7m2+16 |
| 49 |
| 7m2+16 |
∵MN∥OQ，
∴S=S△MNQ=S△MNO=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
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