Question

如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，点D是BC的中点，连结AD．点P、Q分别从点A、B同时出发，

如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，点D是BC的中点，连结AD．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以2cm/s的速度沿B→D→A向终点A运动，当点Q停止时，点P也随之停止．过点P作PE∥BC，交AD于点E，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）请用含t的代数式表示线段QD的长；（2）当点E与点Q重合时，求t的值；（3）如图②，当点Q在AD边上运动时，以PE和EQ为边作?PEQF，设?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积为s．①求s与t的函数关系式；②当?PEQF为菱形时，请直接写出t的值．

Answer 1

（1）①当0＜t≤

3

2

时，QD=BD-BP=3-2t；
②当

3

2

＜t≤4时，QD=2t-3．
（2）∵∠C=90°，AC=4，且CD=3，
∴AD=5
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AP

AC

＝

AE

AD

，
∴AE＝

5

4

t．
∵QD=2t-3，
∴2t-3+

5

4

t=5，
解得∴t=

32

13

．
（3）①如图①，当

3

2

≤t≤

32

13

时，s＝

3

4

t[4?t?

4

5

(2t?3)]＝?

39

20

t2+

24

5

t；
如图②，当

32

13

＜t≤4时，s＝

1

2

t?

3

4

t?

1

2

?

3

5

?

4

5

(8?2t)2=?

117

200

t2+

192

25

t?

384

25

．

②：①当

3

2

≤t≤

32

13

时，
PE=EQ，
即：

3t

4

＝8?

13t

4

，
解得：t=2；
②当

32

13

＜t≤4时，
PE=EQ，即：

3t

4

＝

13t

4

?8，
解得：t=

16

5

．