Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +2S n ?S n-1 =0（n≥2），a 1 = 1 2 ．（1）求证

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +2S n ?S n-1 =0（n≥2），a 1 = 1 2 ．（1）求证：{ 1 S n }是等差数列；（2）求a n 表达式；（3）若b n =2（1-n）a n （n≥2），求证：b 2 2 +b 3 2 +…+b n 2 ＜1．

Answer 1

解（1）∵-a n =2S n S n-1 ， ∴-S n +S n-1 =2S n S n-1 （n≥2） S n ≠0，∴ 1 S n - 1 S n -1 =2，又 1 S 1 = 1 a 1 =2， ∴{ 1 S n }是以2为首项，公差为2的等差数列． （2）由（1） 1 S n =2+（n-1）2=2n， ∴S n = 1 2n 当n≥2时，a n =S n -S n-1 =- 1 2n(n-1) n=1时，a 1 =S 1 = 1 2 ， ∴a n = 1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2) ； （3）由（2）知b n =2（1-n）a n = 1 n ∴b 2 2 +b 3 2 +…+b n 2 = 1 2 2 + 1 3 2 +…+ 1 n 2 ＜ 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 (n-1)n =（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+（ 1 n-1 - 1 n ）=1- 1 n ＜1．