Question

已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．（1）求该函数的单调增区间；（2）求该函数的最大值及对应的x

已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．（1）求该函数的单调增区间；（2）求该函数的最大值及对应的x的值；（3）求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．

Answer 1

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1?cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．（5分）
（1）由?

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得?

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)．
所以函数的单调增区间为[?

3π

8

+kπ，  

π

8

+kπ](k∈Z).（8分）
（2）令2x+

π

4

＝

π

2

+2kπ，得x＝

π

8

+kπ(k∈Z)，
所以当x＝

π

8

+kπ(k∈Z)时，ymax＝2+

2

．（12分）
（3）由2x+

π

4

＝

π

2

+kπ，得x＝

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以该函数的对称轴方程为x＝

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
由2x+

π

4

＝kπ，得x＝?

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以，该函数的对称中心为：(?

π

8

+

kπ

2

，  0)(k∈Z)．（16分）