Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

．
∴

4

a2

+

1

b2

＝1，①且

a2?b2

a

=

2

2

，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

＝1．…（6分）
（Ⅱ）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
∵-2，x₁是该方程的两根，∴-2x₁=

8k2?8k?4

1+2k2

，即x₁=

?4k2+4k+2

1+2k2

．
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x₂=

?4k2?4k+2

1+2k2

．…（9分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=