已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（m，0）作圆O：x2+y2=169的切线l交椭圆...
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（m，0）作圆O：x2+y2=169的切线l交椭圆C于A、B两点，求△ABO面积的最大值（O为坐标原点）．
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（Ⅰ）∵椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)经过点M(1，
)，且离心率为
，
∴
，
解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（Ⅱ）∵△ABO面积S=
×
×|AB|=
|AB|，
∴|AB|最大时，△ABO面积最大．
当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=m，
由直线AB与圆O：x2+y2=
相切，得m=±
，
把x=±
代入椭圆方程，得A（±
，
），B（±
，-
），|AB|=
，
∴△ABO面积S=
|AB|=
．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-m），
由直线AB与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=
=
，
整理，得k2=
，
将直线方程y=k（x-m）代入椭圆方程消y，得（4k2+3）x2-8k2mx+4k2m2-12=0，
△=64k4m2-4（4k2+3）（4k2m2-12）＞0，
∴4k2-k2m2+3＞0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴|AB|=
|x1-x2|
=
?
=
?4
?
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
|
解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵△ABO面积S=
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴|AB|最大时，△ABO面积最大．
当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=m，
由直线AB与圆O：x2+y2=
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
把x=±
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴△ABO面积S=
| 2 |
| 3 |
4
| ||
| 9 |
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-m），
由直线AB与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=
| |km| | ||
|
| 4 |
| 3 |
整理，得k2=
| 16 |
| 9m2-16 |
将直线方程y=k（x-m）代入椭圆方程消y，得（4k2+3）x2-8k2mx+4k2m2-12=0，
△=64k4m2-4（4k2+3）（4k2m2-12）＞0，
∴4k2-k2m2+3＞0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=
| 8k2m |
| 4k2+3 |
| 4k2m2-12 |
| 4k2+3 |
∴|AB|=
| 1+k2 |
=
| 1+k2 |
(
|
=
| ||
| 4k2+3 |
| 3 |
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