Question

有一次我在写“毛邓三”论文的时候无意中发现一个规律，谁能解释一下？

当1＜a＜e或a＞e时，函数y=x^a和函数y=a^x在x＞0的范围内必有两个交点，并且这两个交点分别在直线x=e的两侧

Answer 1

你真不简单，写毛邓三那种（屏蔽词）的文章都能悟出这么细节的数学命题，潜力叵测啊。
把y=x^a和y=a^x两边取对数得到：lny=a*lnx 和 lny=x*lna,
两等式联立得到：x/lnx=a/lna,
考察函数x/lnx，在[0,1)区间由0递减到负无穷，在(1,+无穷)区间由正无穷先递减到e在递增到正无穷，e是x/lnx在(1,+无穷)区间的极小值，此时x也等于e。所以在(1,+无穷)区间，除了x=e外，x均有两个值与lny对应，并且总有x>1。这就说明当1＜a＜e或a＞e时，两函数在x>1的范围内必有两交点，并且这两个交点分别在直线x=e的两侧。
所以你的命题可以稍微将条件加强一下，改为x>1的范围，祝你论文写的开心！