Question

如图，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一

如图，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE=x，BC=y．（1）当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF=2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．

Answer 1

（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

＝

AE

BC

，
∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1
∴BE=4-x，
∴

1

4?x

＝

x

y

，
∴y=-x²+4x（0＜x＜4）；

（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中，HC=

DC2?DH2

=

52?42

=3，
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴-x²+4x=4
解得：x₁=x₂=2，
∴AE=2；

（3）△BCE的周长不变．理由如下：
C_△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4-x，
设AD=m，则DE=4-m，
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²即，（4-m）²=x²+m²
∴m＝

16?x2

8

，
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴

C△ADE

C△BCE

＝

AD

BE

＝

16?x2 8

4?x

＝

4+x

8

∴C△BCE＝

8

4+x

?C△ADE＝

8

4+x

?(4+x)＝8
∴△BCE的周长不变．