Question

已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．（1）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在

已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．（1）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程；（2）求过点O、F并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程．

Answer 1

（1）设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入

x2

2

+y2＝1
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直线AB过椭圆的左焦点，
∴方程有两个不等实根，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2＝?

4k2

2k2+1

，
x0＝

1

2

(x1+x2)＝?

2k2

2k2+1

…（3分）y0＝k(x0+1)＝

k

2k2+1

，
∵线段AB的中点在直线x+y=0上，
∴x0+y0＝?

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

＝0，
解得k=0或k＝

1

2

…（5分）
当直线AB与x轴垂直时，
线段AB的中点F不在直线x+y=0上
∴直线AB的方程是y=0或x-2y+1=0…（6分）
（2）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2…（9分）
∴圆过O、F∴圆心M在x＝?

1

2

上，
设M(?

1

2

，t)
则圆半径r＝|(?

1

2

)?(?2)|＝

3

2

，…（11分）
由|OM|=r得

(? 1 2 )2+t2

＝

3

2

，
解之得t＝±

2

，
故所求圆的方程为

Answer 2

（1）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入x22+y2＝1整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，∵直线AB过椭圆的左焦点，∴方程有两个不等实根，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则x1+x2＝?4k22k2+1，x0＝12(x1+x2)＝?2k22k2+1…（3分）y0＝k(x0+1)＝k2k2+1，∵线段AB的中点在直线x+y=0上，∴x0+y0＝?2k22k2+1+k2k2+1＝0，解得k=0或k＝12…（5分）当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x+y=0上∴直线AB的方程是y=0或x-2y+1=0…（6分）（2）∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（-1，0），l：x=-2…（9分）∴圆过O、F∴圆心M在x＝?12上，设M(?12，t)则圆半径r＝|(?12)?(?2)|＝32，…（11分）由|OM|=r得(?12)2+t2＝32，解之得t＝±2