Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_______；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长；（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD 2 =4AH 2 +BC 2 时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。 图1 图2 图3

Answer 1

解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE， ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC，∠DAC=60°， ∵∠BAE=60°， ∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC， 即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD， ∴EC=BD， ∵∠BAE=60°，AE=AB=3， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠EBA=60°，EB=3， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBC=90°， ∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4， ∴EC=5， ∴BD=5；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，以下证明： 如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC， 并取BE的中点K，连接AK， ∵AH⊥BC于H，、 ∴∠AHC=90°， ∵BE∥AH， ∴∠EBC=90°， ∵∠EBC=90°，BE=2AH， ∴EC 2 =EB 2 +BC 2 =4AH 2 +BC 2 ， ∵BD 2 =4AH 2 +BC 2 ， ∴EC=BD， ∵K为BE的中点，BE=2AH， ∴BK=AH， ∵BK∥AH， ∴四边形AKBH为平行四边形， 又∵∠EBC=90°， ∴四边形AKBH为矩形， ∴∠AKB=90°， ∴AK是BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD， ∴△EAC≌△BAD， ∴∠EAC=∠BAD， ∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD， 即∠EAB=∠DAC， ∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角， ∴∠ABC=90°-∠EBA， ∵AB=AE， ∴∠EBA=∠BEA， ∴∠EAB=180°-2∠EBA， ∴∠EAB=2∠ABC， ∴∠DAC=2∠ABC。