Question

如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB与点E，交AC于点F．（1）求证：BE+CF

如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB与点E，交AC于点F．（1）求证：BE+CF=EF；（2）若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明）

Answer 1

（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴△BED和△CFD是等腰三角形
∴EF=BE+CF．

（2）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCG，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCG，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴△BED和△CFD是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BED，△CFD；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE-DF=BE-CF．