Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE?EC
Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE?EC．...
Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE?EC．
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如图：延长FE交BA的延长线于H，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥HF
∴
=
，
=
，
∴
=
，
∵P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴HE=EF
∵∠AEH=∠CEF，
∴Rt△AEH∽Rt△FEC，
∴
=
，即
=
，
∴EF2=AE?EC．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥HF
∴
| HE |
| AP |
| BE |
| BP |
| EF |
| DP |
| BE |
| BP |
∴
| HE |
| AP |
| EF |
| DP |
∵P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴HE=EF
∵∠AEH=∠CEF，
∴Rt△AEH∽Rt△FEC，
∴
| AE |
| FE |
| HE |
| EC |
| AE |
| EF |
| EF |
| EC |
∴EF2=AE?EC．
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