如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：（1）MN
如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：（1）MN=EN；（2）MN2=AN?NC．...
如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：（1）MN=EN；（2）MN2=AN?NC．
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证明：（1）∵AD为斜边BC的高，NM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
而P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴MN=EN；
（2）∵∠NMC=∠NAE=90°，∠MNC=∠ENA，
∴△MNC∽△ANE，
∴MN：AN=NC：EN，
而MN=EN，
∴MN：AN=NC：MN，
∴MN2=AN?NC．
∴AD∥EM，
∴△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，
∴
| AP |
| EN |
| BP |
| BN |
| DP |
| MN |
| BP |
| BN |
∴
| AP |
| EN |
| DP |
| MN |
而P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴MN=EN；
（2）∵∠NMC=∠NAE=90°，∠MNC=∠ENA，
∴△MNC∽△ANE，
∴MN：AN=NC：EN，
而MN=EN，
∴MN：AN=NC：MN，
∴MN2=AN?NC．
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