Question

（2013?虹口区二模）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；

（2013?虹口区二模）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．

Answer 1

（1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得AE＝

2

，同理DE＝

2

，
∴AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．
（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．
∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．
由PA=2，AB=1，BC=2，得NC＝MN＝

2

，MC＝

6

，∴cos∠MNC＝

2+2?6

2? 2 ? 2

＝?

1

2

，∠MNC＝

2π

3

．
∴异面直线PD与AE所成的角的大小为

π

3

．