Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足4b1?1?42b2?

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足4b1?1?42b2?1?43b3?1…4nbn?1＝(an+1)n，求数列{bn}的通项公式；（3）若cn=（bn-1）（bn+1-1），求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1
∴a₁=1，a_n+1+1=2（a_n+1）
∴数列{1+a_n}是以2为公比以2为首项的等比数列
∴an+1＝2n
∴an＝2n?1
（2）∵4b1?1?42b2?1?43b3?1…4nbn?1＝(an+1)n，
∴4b1+2b2+3b3+…+nbn?n＝2n2
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）=n²+2n①
2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
①-②可得，2nb_n=2n+1
即bn＝1+

1

2n

（n≥2），n=1也满足
∴bn＝1+

1

2n

（3）∵c_n=（b_n-1）（b_n+1-1）=

1

2n

?

1

2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

?

1

n+1

)
∴Sn＝

1

4

(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

)
=

1

4

(1?

1

n+1

)=

n

4n+4