Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的横坐标为8．（1）求抛物线C的

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的横坐标为8．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：y=x+m（m≠0）与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|PB|，求m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．
∴直线与抛物线的交点坐标为（8，-8），代入y²=2px．
∴2p=8，
∴抛物线方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y2＝8x y＝x+m

化为y²-8y+8m=0，
△=64-32m＞0，
∴m＜2．
y₁+y₂=8，y₁y₂=8m，
∴x₁x₂=

(y1y2)2

64

=m²．
由题意可知OA⊥OB，
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²+8m=0，
∴解得m=-8或m=0（舍），
∴m=-8．