Question

以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．（1）如图1，△

以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．（1）如图1，△ABC中∠BAC=90°时，AM与ED大小的关系是______．AM与ED的位置关系是______；（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是______．试证明你的结论；（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．

Answer 1

解答：解：（1）如图，延长AM到N，使AM=MN，连接BN，延长MA交DE于H，
易证△BMN≌△CMA，
则BN=AC=AD，∠ABN=∠ABC+∠CBN=∠ABC+∠ACB=90°，
∴△ADE≌△ACB，
∴ED=AN=2AM，
∵∠BAN+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．
故答案为：ED=2AM，AM⊥ED；

（2）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到N，使MN=AM，连BN，则ABNC是平行四边形．
∴AC=BN，∠ABN+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠DAE．
再证：△DAE≌△BAN
∴DE=2AM，∠BAN=∠EAD．
延长MN交DE于K，
∵∠BAN+∠DAK=90°，
∴∠KDA+∠DAK=90°．
∴AM⊥ED．

（3）ED=2AM，AM⊥ED．

Answer 2

解：（1）如图，延长AM到N，使AM=MN，连接BN，延长MA交DE于H，
易证△BMN≌△CMA，
则BN=AC=AD，∠ABN=∠ABC+∠CBN=∠ABC+∠ACB=90°，
所以，△ADE≌△ACB，
所以，ED=AN=2AM，
故答案为：ED=2AM，AM⊥ED；

（2）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到N，使MN=AM，连BN，则ABNC是平行四边形．
∴AC=BN，∠ABN+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠DAE．
再证：△DAE≌△BAN
∴DE=2AM，∠BAN=∠EAD．
延长MN交DE于K，
∵∠BAN+∠DAK=90°，
∴∠KDA+∠DAK=90°．
∴AM⊥ED．

（3）ED=2AM，AM⊥ED．