Question

已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a，其中a为实常数．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）≥x

已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a，其中a为实常数．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，（x-a）（x-1）＜0
①当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}
②当a=1时，不等式的解集为?
③当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}
（2）不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2对任意x＞1恒成立
将参数a分离出来，即x²-2x+2≥a（x-1）
由于x＞1，所以a≤

x2?2x+2

x?1

∵x＞1，∴

x2?2x+2

x?1

＝(x?1)+

1

x?1

≥2
所以

x2?2x+2

x?1

）的最小值为2，当且仅当x=2时，取得最小值．
所以a≤2