Question

已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．

已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．（1）求OA?OB的值；（2）求点Q的纵坐标．

Answer 1

（1）∵F(0，

p

2

)，可设直线l的方程为y＝kx+

p

2

由

y＝kx+ p 2 x2＝2py

可得x²-2pkx-p²=0…（2分）
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x1+x2＝2pk，x1x2＝?p2…（3分）
∴y1y2＝(kx2+

p

2

)?(kx1+

p

2

)＝k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=?k2p2+k2p2+

p2

4

＝

p2

4

…（4分）
∴

OA

?

OB

＝x1x2+y1y2＝?

3

4

p2
（2）∵x²=2py，∴y＝

x2

2p

，∴y′＝

x

p

∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

∴在点A处的切线方程为y?y1＝

x1

p

(x?x1)，
∴y＝

x1

p

x?

x 2 1

2p

…（8分）
同理在点B的切线方程为y＝

x2

p

x?

x 2 2

2p

联立方程组

y＝ x1 p x? x 2 1 2p y＝ x2 p x? x 2 2 2p

，∴

x＝pk y＝? p 2

即Q点的纵坐标为?

p

2

…（12分）