Question

已知抛物线C:x2=2py(p＞0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点

已知抛物线C:x²=2py(p＞0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点Q。
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|·|BF|的值。
（2）是否存在实数p，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

（1）F(0，p/2)，因为直线AB过F，所以有p/2=2,即p=4。F为(0，2)。抛物线为x²=8y。
将直线方程代入抛物线得：y²-36y+4=0。设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)。则y₁+y₂=36，y₁y₂=4。
又其准线为y=-p/2。所以|AF|·|BF|=(y₁+p/2)(y₂+p/2)=y₁y₂+p(y₁+y₂)/2+p²/4=
4+4·36/2+4=80。
（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，若△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形。则有2PQ=AB。
抛物线x²=2py。将直线代入方程得：x²-4px-4p=0。x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p。
y₁+y₂=2(x₁+x₂)+4=8p+4。所以P(2p，4p+2)。Q(2p，2p)。PQ=4p+2-2p=2p+2
AB=√(1+k²)·√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√5·√16p²+16p=4√5√(p²+p)。
所以2(2p+2)=4√5√(p²+p)。解得p=-1或p=1/4。因为p＞0，所以p=1/4。
所以存在p=1/4。使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形。