Question

已知抛物线C：x^2=2py(p>0)的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是

已知抛物线C：x^2=2py(p>0)的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q。
D是抛物线C上的动点，点E（-1，3），若直线AB过焦点F，求｜DF｜＋｜DE｜的最小值。

Answer 1

抛物线C的方程可知，此抛物线为上开口型抛物线，其焦点F在y轴的正半轴，为F（0，p/2）；
直线AB过焦点F，所以将点F的坐标代入直线方程可得2×0-p/2+2=0，得p=4，所以抛物线方程为：x^2=8y，焦点F（0，2）；
|DE|+|DF|是求点D到点E、F的距离之和最小，所以点D必然在E、F的垂直平分线上，而D又是抛物线上的点，所以问题转化为求E、F的垂直平分线与抛物线的交点问题；
方程组：
(1) x^2=8y
(2) y=x+3……(点E、F的垂直平分线方程，求法就不说了吧)
将（2）代入（1）中得x^2-8x-24=0得x=4+2倍根号10，和4-2倍根号10；
将上述两根代入抛物线方程可得两个交点的坐标，将坐标分别代入|DE|+|DF|的式子，得最小值为：
sqrt(121-36*sqrt(10))和sqrt(121+36*sqrt(10))，显然前者更小，所以舍弃后者。
要么是题目出得不够合理，要么就是我中间哪个地方数算错了，但是思路百分百正确，请赐分吧。

Answer 2

因为直线AB过点F，故F（0,2） 抛物线方程为：x²=8y 其准线方程为：y=-2 过点D作DG⊥准线于G，则lDGl=lDFl 有lDFl+lDEl=lDGl+lDEl≥lEGl （当且仅当D，E，G共线时等号成立） 过E作EG⊥准线于G，易知lEGl=5 故（lDFl+lDEl)min=5

Answer 3

解答如下：