Question

数学因式分解问题

1+x+x(1+x)+x(1+x)²+x（1+x）³

有什么规律

用你发现的规律写出 1+x+x(1+x)+.......+x（1+x）的2010次方

要过程，给分
ab-a+b-1

Answer 1

ab-a+b-1=a(b-1)+(b-1)
=(a+1)(b-1)

设 An=1+x+x(1+x)+.......+x(1+x)^n ,
An=1+x+x(1+x)+.......+x(1+x)^n
= 1*(1+x)+x*(1+x)+...+x(1+x)^(n-1)*(1+x)
= [1+x+x(1+x)+...+x(1+x)^(n-1)]*(1+x)
= (1+x) An-1

所以 An=(1+x)^(n-1) *A1
又 A1=1+x+x(1+x)=(1+x)^2
所以 An=(1+x)^(n+1)
所以1+x+x(1+x)+.......+x（1+x）的2010次方=A2010 =(1+x)^2011

Answer 2

1+x+x(1+x)+x(1+x)²=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)²=(1+x)²+x(1+x)²=（1+x）³
后面的会做了吧？

Answer 3

ab-a+b-1=a(b-1)+(b-1)=(b-1)(a+1)
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.......+x(1+x)^2010
=(1+x)(1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.......+x(1+x)^2009)
=(1+x)(1+x)(1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.......+x(1+x)^2008)
=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.......+x(1+x)^2007)
……
=(1+x)^2011