Question

已知数列(an),Sn是前n项的和,且an=S(n-1)+2,a1=2

求数列（an）的通项公式
设bn=1/log2an,Tn=b(n+1)+b(n+2)+.....+b(2n),是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn>k/12,恒成立？若存在，求k值，不存在说明理由

Answer 1

解：(1)∵a[n]=S[n-1]+2 （n>=2)
∴a[n+1]=S[n]+2
将上述两式相减，得：a[n+1]-a[n]=a[n]
即：a[n+1]/a[n]=2
∵a[1]=2
∴a[n]是首项和公比都是2的等比数列
即：a[n]=2*2^(n-1)=2^n

(2)答：存在最大的正整数k。
解：∵b[n]=1/log[2]a[n]=1/log[2]2^n=1/n
∴T[n]=b[n+1]+b[n+2]+…+b[2n]
=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)
>1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=1/2
令：k/12=1/2，解得：k=6
∴存在最大的正整数k=6，使得对于任意的正整数n，有T[n]>k/12