Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b?2 x -1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求A∩B≠?的概

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b?2 x -1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求A∩B≠?的概率；（2）若a，b∈R，求A∩B=?的概率．

Answer 1

（1）因为a，b∈N，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组． 令函数f（x）=ax+b?2 x -1，x∈[-1，0]，则f′（x）=a+bln2?2 x ． 因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是单调递增函数． f（x）在[-1，0]上的最小值为-a+ b 2 -1．要使A∩B≠?，只需-a+ b 2 -1＜0， 即2a-b+2＞0．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7组． 所以A∩B≠?的概率为 7 9 ． （2）因为a∈[0，2]，b∈[1，3]， 所以（a，b）对应的区域为边长为2的正方形（如图），面积为4． 由（1）可知，要使A∩B=?， 只需f（x） min =-a+ b 2 -1≥0?2a-b+2≤0， 所以满足A∩B=?的（a，b）对应的区域是如图阴影部分． 所以S 阴影 = 1 2 ×1× 1 2 = 1 4 ，所以A∩B=?的概率为：P= 1 16 ．